|
بازی جوانه ها

بازی جوانهها یاSprout بازی ای برای دو بازیکن است. این بازی را دو ریاضیدان به نام هایJohn H. Conway و Michael S. Paterson در 1967 در دانشگاه کمبریج ابداع کردند. بازی با رسم تعدادی نقطه آغاز میشود.

هر بازیکن در نوبت خود با خطی دو تا از نقطهها را به هم متصل میکند و نقطه ای روی این خط رسم میکند. این خط میتواند یک نقطه را به خودش وصل کند. بازنده کسی است که در نوبتش قادر به انجام حرکتی نباشد.
قوانین بازی:
- هیچ خطی نباید خطوطی را که قبلا رسم شده قطع کند.
- به هر نقطه حداکثر 3 خط میتوان وصل کرد. مثلا در بازی زیر از نقاطA وB دیگر نمی توان استفاده کرد.

خب، طبق معمول قبل از ادامه ماجرا میتوانید کمی باApplet زیر بازی کنید. برای شروع بازی روی کادر زیر کلیک کنید. البته این برنامه مقابل شما بازی نمی کند و فقط وسیله ای برای انجام بازی و بررسی حالت های مختلف است. در پنجره کوچک تر میتوانید تعداد نقاط اولیه را تعیین کنید. حرکات غیر قابل قبول با رنگ زرد مشخص میشوند و نقاط مرده ( نقاطی که محل اتصالی ندارند ) با رنگ خاکستری. در ضمن با زدن دکمه وسط ماوس میتوانید در هر جای بازی یک نقطه جدید قرار دهید.
برای دیدن این بخش شما به نرم افزار جاوا نیاز دارید
حالا به سراغ چند سوال ساده میرویم:
- آیا این بازی همیشه در متناهی مرحله تمام میشود و یا ممکن است هرگز تمام نشود؟ چرا؟
در نگاه اول به نظر میرسد که بازی همیشه در حال رشد کردن است، اما اگر توجه کنید میبینید که چون روی هر نقطه سه محل اتصال وجود دارد پس هر حرکت دو محل اتصال را میبندد و فقط یک محل اتصال جدید ایجاد میکند، پس محل های اتصال و در نتیجه بازی در جایی تمام خواهد شد. به کمک همین تکنیک شمارش محل های اتصال میتوانید به سوال های زیر پاسخ دهید.
- اگر بازی را باn نقطه آغاز کنیم، بازی حداکثر میتواند شامل چند حرکت باشد؟
- آیا ممکن است بازی ای با حرکاتی کمتر از حداکثر حرکت های ممکن تمام شود؟
- اگر در یک بازی باn نقطه ابتدایی حداکثر حرکات ممکن انجام شده باشد، چه کسی برنده خواهد بود؟ نفر اول یا دوم؟
*****
خب، به نظر شما برای برنده شدن در این بازی باید چه کنیم؟ اینکه چه کسی برنده است به زوج یا فرد بودن تعداد کل حرکت های بازی بستگی دارد. پس با کنترل تعداد حرکات میتوان برنده شد.
برای اینکه بدانیم چطور میتوان تعداد حرکات را کنترل کرد به وضعیت های پایان بازی توجه میکنیم. فرض کنیمn نقطه اولیه داشته ایم و بازی مجموعاm حرکت طول کشیده باشد، بنابر این تعداد نقطهها در پایانm+n و مجموع محل های اتصال باقیمانده3n - m =1 است ( با3n محل اتصال شروع میکنیم و هر حرکت یکی از محل های اتصال کم میکند. )
هر نقطه زنده ای (یعنی نقطه ای که هنوز محل اتصالی دارد،L ) در پایان بازی دو نقطه ی مرده (D ) به عنوان نزدیک ترین همسایه هایش دارد. همانطور که در شکل میبینید این همسایگی تنها در دو صورت اتفاق میافتد. به بقیه نقاط مرده نقاط رها میگوییم.
هیچ نقطه مرده ای نمی تواند همسایه ی دو نقطه زنده باشد، چرا که در این صورت میتوانیم با وصل کردن دو نقطه زنده به بازی ادامه دهیم. بنابر این تعداد نقاط رها از این فرمول به دست میآید:
p = (m + n ) - ( l + 2l ) = ( n + m ) - 3( 3n - m ) = 4m - 8n
m = 2n + ¼p
از این فرمول میتوان نتایج زیر را بدست آورد:
- تعداد حرکات یک بازی حداقل2n تاست.
- تعداد نقاط رها مضرب چهار است.
- اگر در هر جای بازی بتوانیم به شکلی اطمینان پیدا کنیم که بازی در پایان حداقل شاملp تا نقاط رها خواهد بود، آنگاه بازیلااقل2n + ¼pحرکت خواهد داشت.
چک کنید
- اگر در هر جای بازی بتوانیم به شکلی اطمینان پیدا کنیم که بازی در پایان حداقل شاملl نقطه زنده میشود، آنگاه بازیحداکثر3n - lحرکت خواهد داشت.
با استفاده از آنچه تا اینجا میدانیم بازی زیر را که از 4 نقطه ابتدایی آغاز شده است بررسی میکنیم. روشن است که اگر یک ناحیه بسته ی تشکیل شده توسط خطوط بازی - مثل ناحیه های بستهA وB وC در شکل - شامل یک نقطه زنده باشد - مثلp وr وq - آنگاه تا پایان بازی آن ناحیه شامل یک نقطه زنده خواهد بود.

پس بازی لااقل 3 نقطه زنده خواهد داشت. اگر دقت کنید میبینید که بازی لااقل یک نقطه رها دارد پس این بازی باید حداکثر 9 حرکت و حداقل 8¼ حرکت طول بکشد. بنابراین بازی دقیقا 9 حرکت طول خواهد کشید و این یعنی برنده شدن نفر اول.
در بازی هایی که تعداد نقاط کمتری دارند میتوان با بررسی حالتها و استفاده از تکنیک های بالا نشان داد که چه کسی میتواند برنده باشد. مثلا در بازی های 1، 2 و 6 نقطه ای نفر دوم میتواند همیشه برنده باشد و در بازی های 3، 4 و 5 نقطه ای نفر اول.

جدول زیر نشان میدهد که چه کسی و با چند حرکت میتواند در بازی های با کمتر از 6 نقطه برنده باشد، سعی کنید تک تک حرکات این بازیها را بیابید و برای ما به آدرس internetschool@tebyan.net بفرستید. ( یعنی دقیقا توضیح دهید که مثلا چطور و با چه حرکاتی نفر اول میتواند در 11 حرکت بازی 5 نقطه ای را ببرد. )
|
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
نفر دوم 14 حرکت |
نفر اول 11 حرکت |
نفر اول 9 حرکت |
نفر اول 7 حرکت |
نفر دوم 4 حرکت |
نفر دوم 2 حرکت |
برای بازی هایی با نقاط بیشتر کار سخت تر است، در سال 1990 سه ریاضیدان در آزمایشگاه هایBell با کمک کامپیوتر نشان دادند که در بازی های 7 و 8 نقطه ای نفر دوم و در بازی های 9، 10 و 11 نقطه ای نفر اول میتوانند همیشه برنده باشند و تلاش برای بررسی بازی های بزرگتر همچنان ادامه دارد.
منبع : تبیان
|